四年级数学辅导专题第7讲－找规律（二）

小学数学四年级辅导专题第7讲－找规律（二） 

　　整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a²，即a²＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a³，即a³＝a×a×a。一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作aⁿ，即

　　本讲主要讲aⁿ的个位数的变化规律，以及aⁿ除以某数所得余数的变化规律。

　　因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

　　为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a²，a³，a⁴，…的个位数字各是什么。

　　从表看出，aⁿ的个位数字的变化规律可分为三类：

　　（1）当a的个位数是0，1，5，6时，aⁿ的个位数仍然是0，1，5，6。

　　（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，aⁿ的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。

　　（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，aⁿ的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。

例1 求67⁹⁹⁹的个位数字。

　　分析与解：因为67的个位数是7，所以67ⁿ的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。

　　999÷4＝249……3，

　　所以67⁹⁹⁹的个位数字与7³的个位数字相同，即67⁹⁹⁹的个位数字是3。

例2 求2⁹¹+3²⁹¹的个位数字。

分析与解：因为2ⁿ的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，2⁹¹的个位数字与2³的个位数字相同，等于8。

　　类似地，3ⁿ的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现，

　　291÷4＝72……3，

　　所以3²⁹¹与3³的个位数相同，等于7。

　　最后得到2⁹¹+3²⁹¹的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。

例3 求28¹²⁸-29²⁹的个位数字。

解：由128÷4＝32知，28¹²⁸的个位数与8⁴的个位数相同，等于6。由29÷2＝14……1知，29²⁹的个位数与9¹的个位数相同，等于9。因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。

例4 求下列各除法运算所得的余数：

　　（1）78⁵⁵÷5；

　　（2）5⁵⁵÷3。

分析与解：（1）由55÷4＝13……3知，78⁵⁵的个位数与8³的个位数相同，等于2，所以78⁵⁵可分解为10×a＋2。因为10×a能被5整除，所以78⁵⁵除以5的余数是2。

　　（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求5⁵⁵的个位数的方法求解。为了寻找5ⁿ÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

　　注意：表中除以3的余数并不需要计算出5ⁿ，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。比如，5²除以3的余数是1，5³除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为5²＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而

　　5³=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，

　　（3×8）×5能被3整除，所以5³除以3的余数与1×5除以3的余数相同。

　　由上表看出，5ⁿ除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27……1知，5⁵⁵÷3的余数与5¹÷3的余数相同，等于2。

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