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小学四年级奥数专题(七)找规律(1)

[11-11 12:13:51]   来源:http://www.duoxue8.com  小学四年级数学试卷   阅读:280
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这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢?比如,一年有春夏秋冬四季,百花盛开的春季过后就是夏天,赤日炎炎的夏季过 后就是秋天,果实累累的秋季过后就是冬天,白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年,总是按照春、夏、秋、冬四季变化,这就是周期性变化规律。再比如,数 列0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,…是按照0,1,2三个数重复出现的,这也是周期性变化问题。

  下面,我们通过一些例题作进一步讲解。

  例1 节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯,然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问:

  (1)第100盏灯是什么颜色?

  (2)前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?

  分析与解:这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄,每12盏灯一个周期循环出现。

  (1)100÷12=8……4,所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯,是红灯。

  (2)150÷12=12……6,前150盏灯共有12个周期零6盏灯,12个周期中有蓝灯4×12=48(盏),最后的6盏灯中有1盏蓝灯, 所以共有蓝灯48+1=49(盏)。

  例2 有一串数,任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3,第6个数是6,第11个数是7。问:这串数中第24个数是几?前77个数的和是多少?

  分析与解:因为第1,2,3,4个数的和等于第2,3,4,5个数的和,所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知,第1,5,9,13,…个 数都相同。

  同理,第2,6,10,14,…个数都相同,第3,7,11,15,…个数都相同,第4,8,12,16…个数都相同。

  也就是说,这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以,第2个数等于第6个数,是6;第3个数等于第11个数,是7。前三个数依次是 3,6,7,第四个数是

  25-(3+6+7)=9。

  这串数按照3,6,7,9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同,是9。由77÷4=9……1知,前77个数是19个周期零1个数,其和为 25×19+3=478。

  例3 下面这串数的规律是:从第3个数起,每个数都是它前面两个数之和的个位数。问:这串数中第88个数是几?

  628088640448…

  分析与解:这串数看起来没有什么规律,但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同,那么根据这串数的构成规律,这两个相邻数字后面 的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同,也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位:

  当写出第21,22位(竖线右面的两位)时就会发现,它们与第1,2位数相同,所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由 88÷20=4……8知,第88个数与第8个数相同,所以第88个数是4。

  从例3看出,周期性规律有时并不明显,要找到它还真得动点脑筋。

  例4 在下面的一串数中,从第五个数起,每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中,能否出现相邻的四个数是“2000”?

  135761939237134…

  分析与解:无休止地将这串数写下去,显然不是聪明的做法。按照例3 的方法找到一周期,因为这个周期很长,所以也不是好方法。那么怎么办呢?仔细观察会发现,这串数的前四个数都是奇数,按照“每个数都是它前面四个数之和的 个位数字”,如果不看具体数,只看数的奇偶性,那么将这串数依次写出来,得到

  奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……

  可以看出,这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的,永远不会出现四个偶数连在一起的情况,即不会出现“2000”。

  例5 A,B,C,D四个盒子中依次放有8,6,3,1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放 球最少的盒子,然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后,A,B,C,D四个盒子中各放有几个球?

  分析与解:按照题意,前六位小朋友放过后,A,B,C,D四个盒子中的球数如下表:

  

  可以看出,第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同,所以从第2人放过后,每经过4人,四个盒子中球的情况重复出现一次。

  (100-1)÷4=24……3,

  所以第100次后的情况与第4次(3+1=4)后的情况相同,A,B,C,D盒中依次有4,6,3,5个球。

  练习7

  1.有一串很长的珠子,它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问:第100颗珠子是什么颜色?前200颗珠子中有 多少颗红珠?

  2.将1,2,3,4,…除以3的余数依次排列起来,得到一个数列。求这个数列前100个数的和。

  3.有一串数,前两个数是9和7,从第三个数起,每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几?前100个数之和是多少?

  4.有一列数,第一个数是6,以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几?

  5.小明按1~3报数,小红按1~4报数。两人以同样的速度同时开始报数,当两人都报了100个数时,有多少次两人报的数相同?

  6.A,B,C,D四个盒子中依次放有9,6,3,0个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子,从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球;第2个 小朋友也找到放球最多的盒子,也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后,A,B,C,D四个盒子中各放有几个球?


小学四年级奥数专题(七)找规律(1) 结束。
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