小学数学应用题典型详解21-方阵问题

21  方阵问题

 【含义】    将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

 【数量关系】  （1）方阵每边人数与四周人数的关系：

                    四周人数＝（每边人数－1）×4

                    每边人数＝四周人数÷4＋1

               （2）方阵总人数的求法：

           实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

           空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?

           内边人数＝外边人数－层数×2

               （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

            总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

 【解题思路和方法】    方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

 例1    在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

      解        22×22＝484（人）    

                   答：参加体操表演的同学一共有484人。

 例2    有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

         解       10－（10－3×2）?

                ＝84（人）  

                          答：全方阵84人。

 例3    有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？

   解  （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）

       （2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）

       （3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）

                         答：这队学生共160人。

 例4    一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？

解  （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）

    （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）

    （3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）

                         答：棋子有40只。

 例5    有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？

    解  第一种方法：  1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

        第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）

                         答：这个三角形树林一共有15棵树。