五年级奥数专题十三:最大公约数与最小公倍数(2)
[01-27 15:46:59] 来源:http://www.duoxue8.com 小学五年级数学试卷 阅读:151次这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法
可知,(18,12)=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么
(18,12)×[18,12]
=(2×3)×(2×3×3×2)
=(2×3×3)×(2×3×2)
=18×12。
也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积。当把18,12换成其它自然数时,依然有类似的结论。从而得出一个重要结论:
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积。即,
(a,b)×[a,b]=a×b。
例1 两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
解:由上面的结论,另一个自然数是(6×72)÷18=24。
例2 两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解:如果将两个自然数都除以7,则原题变为:“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30,和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6,
由上式知,两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。
例3 已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。
分析与解:因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。再由[a,b,c]=120知, a只能是60或120。[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15。
因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为:“a是60或120,(a,b)=12,[a,b]=120,求a,b。”
当a=60时,
b=(a,b)×[a,b]÷a
五年级奥数专题十三:最大公约数与最小公倍数(2) 结束。
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