应用题的“列与解”

应用题的“列”是非常重要的，然而有很多耐人寻味、启发思维、形式简单的方程却蕴涵在“解”的过程中，只有列出解法简捷的方程，才是最佳列法，反之，也只有列出的方程形式最简，其解法才最优。下面以初中代数课本中的习题为例，对“列”与“解”的辨证关系作一粗浅分析，供大家参考。
　一． 列中隐含有解，在解中发掘隐含的等量关系
　　对于应用题，不能认为只要“列”出方程（组）来就行了，而忽视对它的“解”。事实上，“列”固然重要，但“解”亦不可小视。有些隐含的等量关系就是在“解”中启示我们而获得的。
　例：从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米处；快车到达乙站比慢车造5分钟。快车和慢车每小时各行多少千米？（《代数》第三册P50第4题）
解析：设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，依题意　　　易得
150/x-150/x+12=25/60 (1)
解方程（1），得150*12/x(x+12)=5/12，
即150/(x +12)*12=(5/12)x 　　　　　(2)
　　　方程（2）表示的意义是，快车从甲站到达乙站时比慢车多了　　　　[（150/x+12）]*12千米，而这段距离与慢车25分钟所走的距离　　　(5/12)x千米相等。
方程（2）显然比方程（1）要简洁，我们在求解方程(1）的过程中受到启示而发掘出来的等量关系，可见“列”中隐含有“解”，而“解”又启发着我们的“列”。

二． 解中孕育着列，在列中寻求最简单方程
解体就是解决矛盾，矛盾的转化是现实世界的普遍规律。通过“解”与“列”的转化，使问题获得最佳解法，是求解应用题中常用的数学思想方法。
例：一个水池有甲、乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快15小时，如果单独开放甲管10小时，再单独开放乙管15小时，就可注满水池的2/3，求单独开放一个水管，把水池注满各需多少时间。（《代数》第三册P51第7题）
解析：设单独开放甲管注满水池需(x+15)小时，由题意有方程
10/(x+15)/(x+15)=2/3 (1)
两边同除以2/3，得15/x+22.5/(x+15)=1 (2)
方程（2）告诉我们，有甲管先放15小时，再单独开放乙管22.5小时可注满水池。显然方程(2）比方程（1）要简便。对方程（2）继续简化，可得
22.5/(x+15)=(x-15)/x (3)
方程（3）表示的意义是，乙管工作22.5小时的工作量恰好等于甲管工作(x-15)小时的工作量，这正是题中的隐含条件。可见，依据此隐含条件列出的方程（3）最为简洁。
解方程（3）得x1=30,x2=-15/2（舍去）。
∴x+15=45
答略。

三． 设而不求，巧列中总蕴涵着巧解
任何一道应用剃总包含着一定的数学条件和关系，要解决它就必须对题目本身进行具体、深入、透彻的分析，透过现象看本质，合理地选择未知数。同时，要善于在“列”中发挥“过度未知数”（设而不求）的作用，从而使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，使问题获得巧解。
例：有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5吨大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（《代数》第一册（下）P40第2题）
解析：若直接设3辆大车与5辆小车一次可以运货x吨，则列方程较为繁难，而若设一辆大车一次可以运货x吨，一辆小车一次可以运货y吨，则由题意易得方程组
2x+3y=15.5 (1)
5x+6y=35 (2)
由于本题要求出的结果是(3x+5y)的值，因此我们可以不去分别求x、y各自具体的值（设而不求），而巧妙地采用从整体着眼的思想，直接求出其结果。这样，就有下面的巧解：
(1)*7-(2),得9x+15y=73.5
即 3x+5y=22.4
所以3辆大车与5辆小车一次可以运24.5吨。
上述解法显然比常规解法要显得优越，它给人以简洁明快之感。可见，巧列中蕴涵着巧解。
综上可见， 在应用题的教学中，“列”与“解”两者是互相联系不可分割的整体，列是解的基础，解是列的继续，只有既重视“列”，又注重“解”，在列中探求解，在解中完善列，才能启迪思维，开发智力，达到培养其数学综合素质之目的。