五年级奥数专题十二:最大公约数与最小公倍数（1）

　如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

　　　　如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a₁，a₂，…，a_n的最大公约数通常用符号（a₁，a₂，…，a_n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

　　如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a₁，a₂，…，a_n的最小公倍数通常用符号[a₁，a₂，…，a_n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

　　常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

　　　　例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

　　　　分析与解：因为144克一级茶叶、 180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同， 即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

　　所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

　　为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。

　　　　例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

　　　　分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

　　498-450=48，450-414=36，498-414=84。

　　所求数是（48，36，84）=12。

　　　　例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

　　　　分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是 1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111 的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。

五年级奥数专题十二:最大公约数与最小公倍数（1） 结束。