五年级奥数专题九:奇偶性(3)
[11-11 12:01:24] 来源:http://www.duoxue8.com 小学五年级数学试卷 阅读:932次利用奇、偶数的性质,上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。
例1 在7×7的正方形的方格表中,以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子,要求每个方格中放置不多于1枚棋子,且每行正好放3枚棋子,则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么?
分析与解:题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子,假设这个说法不对,即对角线上没放棋子。如下图所示, 因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴,所以对于MN左下方的任意一格A,总有MN右上方的一格A',A与A'关于MN对称,所以A与A'要么都放有棋 子,要么都没放棋子。由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。而题设每行放3枚棋子,7行共放棋子 3×7=21(枚),21是奇数,与上面的推论矛盾。所以假设不成立,即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。
例2 对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同),变为右下表?为什么?
分析与解:因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数,所以表中九个数码的总和经过变化后,等于原来的总和加上或减去那个数 的2倍,因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为 1+2+…+9=45,是奇数,经过若干次变化后,总和仍应是奇数,与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表。
例3 左下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?
分析与解:如右上图所示,将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间开始走,因为总是黑白相间地走过各房间,所以走过的黑、白房间数最多相差1。而右上图有7黑5白,所以不可能不重复地走遍每一个房间
例4 左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形?
分析与解:将这14个小方格黑白相间染色(见右上图),有8个黑格,6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白,如果能剪裁成7个小长方形,那么14个格应当是黑、白各7个,与实际情况不符,所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
五年级奥数专题九:奇偶性(3) 结束。
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